Codage des nombres binaires entiers négatifs

Objectif du cours

L'objectif de ce cours est de comprendre comment coder des nombres entiers négatifs en binaire dans les systèmes numériques. Nous allons explorer la méthode de représentation la plus couramment utilisée, le complément à deux, qui permet de simplifier les calculs arithmétiques.

1. La représentation binaire des nombres entiers en complément à deux

Dans un système informatique, tout est représenté en binaire (c'est-à-dire en utilisant uniquement les chiffres 0 et 1). Pour représenter des nombres négatifs et donc le symbole -, il faut adopter une convention permettant de distinguer les valeurs positives et négatives tout en restant dans le système binaire.

1.2 Le complément à deux

La méthode la plus courante pour représenter des nombres négatifs est le complément à deux.
💡 La somme d'un nombre et de son opposé donne toujours zéro.

L'objectif du complément à deux est de vérifier cette propriété lors des calculs arithmétiques.

Exemple :

On cherche la représentation de -5, sur 4 bits.
-5 est l'opposé de 5 qui si on le code sur 4 bits, s’écrit 0101.

-5 est donc le nombre qui, ajouté à 0101, donnerait 0000 :

  0101
+ ????
------
  0000
    

On peut donc dire que la représentation de -5 en complément à deux est 1011.

  0101
+ 1011
------
    0000
        

2. Déterminer le complément à deux d'un nombre

2.1 Méthode

Pour obtenir le complément à deux d'un nombre binaire positif :

1. Inverser tous les bits (c'est-à-dire remplacer chaque 0 par un 1 et chaque 1 par un 0).
2. Ajouter 1 au résultat.

Exemple : Représentation de -5 sur 4 bits

1. 5 en binaire sur 4 bits est 0101.
2. Inverser les bits : 0101 devient 1010.
3. Ajouter 1 : 1010 + 1 = 1011.

Ainsi, -5 est représenté par 1011 en complément à deux sur 4 bits.

2.2 Autres exemples de calcul du complément à deux

Prenons d'autres exemples pour bien comprendre le processus :

Représentation de -3 sur 4 bits

1. 3 en binaire sur 4 bits est 0011.
2. Inverser les bits : 0011 devient 1100.
3. Ajouter 1 : 1100 + 1 = 1101.

Ainsi, -3 est représenté par 1101 en complément à deux sur 4 bits.

Représentation de -10 sur 7 bits

1. 10 en binaire sur 7 bits est 0001010.
2. Inverser les bits : 0001010 devient 1110101.
3. Ajouter 1 : 1110101 + 1 = 1110110.

Ainsi, -10 est représenté par 1110110 en complément à deux sur 7 bits.

2.3 Nombres positifs et nombres négatifs

En notation en complément à 2, il est facile de reconnaître un nombre en complément à 2 :

• Les nombres positif commence par 0
• Les nombres négatif commence par 1

2.4 Exemple d'addition avec le complément à deux

Prenons deux nombres en complément à deux sur 4 bits : 2 et -3.

• 2 en binaire sur 4 bits est 0010.
• -5 en binaire sur 4 bits est 1011 (comme calculé précédemment).

Effectuons l'addition :

  0010
+ 1011
------
  1101

Le résultat est 1101, ce qui correspond à -3 en complément à deux, comme attendu.

3. Gamme des valeurs représentables

La plage des valeurs que l'on peut représenter dépend du nombre de bits disponibles. Par exemple, avec 4 bits :

• En complément à deux, les valeurs vont de -8 (1000) à +7 (0111).

Méthode pour déterminer les valeurs représentables

Pour déterminer le plus petit entier et le plus grand entier représentables sur n bits en utilisant le complément à deux, suivez ces étapes :

Plus petit entier représentable

La formule pour le plus petit entier représentable est :

-(2n-1)

où n est le nombre de bits disponibles.

Par exemple, avec 4 bits :

- (24-1) = -8

Donc, le plus petit entier représentable sur 4 bits est -8.

Plus grand entier représentable

La formule pour le plus grand entier représentable est :

(2n-1) - 1

Par exemple, avec 4 bits :

(24-1) - 1 = 7

Donc, le plus grand entier représentable sur 4 bits est +7.

Nombre décimal	Représentation binaire (4 bits, complément à deux)
-8	1000
-5	1011
-3	1101
-1	1111
0	0000
3	0011
7	0111